已知橢圓:的離心率為,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)(點(diǎn)在第一象限).
(1)求橢圓的方程;
(2)已知為橢圓的左頂點(diǎn),平行于的直線與橢圓相交于兩點(diǎn).判斷直線是否關(guān)于直線對(duì)稱,并說(shuō)明理由.
(1);(2)對(duì)稱.
解析試題分析:(1)由圓方程可知圓心為,即,又因?yàn)殡x心率為,可得,根據(jù)橢圓中關(guān)系式,可求,橢圓方程即可寫出;(2)由橢圓方程可知,將代入橢圓方程可得,可得,設(shè)直線,設(shè),,然后和橢圓方程聯(lián)立,消掉(或)得到關(guān)于的一元二次方程,再根據(jù)韋達(dá)定理得出根與系數(shù)的關(guān)系,可得兩直線的斜率.若直線是關(guān)于直線對(duì)稱時(shí)兩直線傾斜角互補(bǔ),所以斜率互為相反數(shù),把求得的兩直線斜率相加若為0,則說(shuō)明兩直線對(duì)稱,否則不對(duì)稱.
試題解析:(1)由題意得, 由可得, 所以
所以橢圓的方程為. 4分
(2)由題意可得點(diǎn)
所以由題意可設(shè)直線,
設(shè)
由得
由題意可得,即且
6分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/72/9/tb9j.png" style="vertical-align:middle;" /> 8分
, 10分
所以直線關(guān)于直線對(duì)稱 12分.
考點(diǎn):1.橢圓的基礎(chǔ)知識(shí);2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知拋物線,直線,是拋物線的焦點(diǎn)。
(1)在拋物線上求一點(diǎn),使點(diǎn)到直線的距離最小;
(2)如圖,過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn).
①若直線AB的傾斜角為,求弦AB的長(zhǎng)度;
②若直線AO、BO分別交直線于兩點(diǎn),求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別、,點(diǎn)是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),且焦距為6,的周長(zhǎng)為16.
(I)求橢圓的方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線被橢圓所截的線段的中點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知圓 ,若橢圓的右頂點(diǎn)為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點(diǎn),與圓分別交于兩點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上,離心率為,對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)直線與橢圓相交于、兩點(diǎn), 為原點(diǎn),在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、,使得在以為直徑的圓外,求直線斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
橢圓以雙曲線的實(shí)軸為短軸、虛軸為長(zhǎng)軸,且與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求橢圓的方程及線段的長(zhǎng);
(2)在與圖像的公共區(qū)域內(nèi),是否存在一點(diǎn),使得的弦與的弦相互垂直平分于點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的中心在原點(diǎn)O,右焦點(diǎn)F在x軸上,橢圓與y軸交于A、B兩點(diǎn),其右準(zhǔn)線l與x軸交于T點(diǎn),直線BF交橢圓于C點(diǎn),P為橢圓上弧AC上的一點(diǎn).
(1)求證:A、C、T三點(diǎn)共線;
(2)如果=3,四邊形APCB的面積最大值為,求此時(shí)橢圓的方程和P點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知橢圓C的方程為=1(a>b>0),雙曲線=1的兩條漸近線為l1、l2,過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l,使l⊥l1.又l與l2交于P點(diǎn),設(shè)l與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn)由上至下依次為A、B(如圖).
(1)當(dāng)l1與l2夾角為60°,雙曲線的焦距為4時(shí),求橢圓C的方程;
(2)當(dāng)=λ,求λ的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知雙曲線=1的離心率為2,焦點(diǎn)到漸近線的距離等于,過(guò)右焦點(diǎn)F2的直線l交雙曲線于A、B兩點(diǎn),F(xiàn)1為左焦點(diǎn).
(1)求雙曲線的方程;
(2)若△F1AB的面積等于6,求直線l的方程.
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