Question

（2008•寶山區(qū)二模）在數(shù)列{a_n}中，a₁=2，且滿(mǎn)足3a_n+1-a_n=0，則

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)數(shù)列滿(mǎn)足，得出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．易求出它的通項(xiàng)公式：2•3^n-1，則它的前n項(xiàng)和等于

2(1- 1 3 n )

1- 1 3

，化簡(jiǎn)即可求得它的極限為3．

解答：解：由題意，得3a_n+1-a_n=0⇒a_n+1=

1

3

a n
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁=2，公比q=

1

3

的等比數(shù)列
∴an=2•

1

3 n-1

它的前n項(xiàng)和等于：S n=

2(1- 1 3 n )

1- 1 3

=3(1-

1

3 n

)
當(dāng)n→∞時(shí)，S_n→3
所以

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=3
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng)：本題以等比數(shù)列為例，考查了數(shù)列的求和與數(shù)列的極限，屬于中檔題目．熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)和求極限的法則，是解好本題的關(guān)鍵．