Question

7．函數(shù)f（x）=|2x-1|，定義f₁（x）=x，f_n+1（x）=f（f_n（x）），已知函數(shù)g（x）=f_m（x）-x有8個(gè)零點(diǎn)，則m的值為（　�。�

• A． 8
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 由已知條件對(duì)x的取值范圍分類，求出f_m（x），由此能求出使函數(shù)g（x）=f_m（x）-x有8個(gè)零點(diǎn)的實(shí)數(shù)m的值．

解答 解：（1）當(dāng)x∈（-∞，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f₂（x）=f（f₁（x））=|2x-1|=1-2x，
①當(dāng)x∈（-∞，$\frac{1}{4}$]時(shí)，f₃（x）=|1-4x|=1-4x，
當(dāng)x∈（-∞，$\frac{1}{8}$]時(shí)，f₄（x）=|1-8x|=1-8x，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=1-9x，有零點(diǎn)x₁=$\frac{1}{9}$．
當(dāng)x∈（$\frac{1}{8}$，$\frac{1}{4}$]時(shí)，f₄（x）=|1-8x|=8x-1，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=7x-1，有零點(diǎn)${x}_{2}=\frac{1}{7}$．
②當(dāng)x∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f₃（x）=|1-4x|=4x-1，
當(dāng)x∈[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{8}$]時(shí)，f₄（x）=|8x-3|=3-8x，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=3-9x，有零點(diǎn)${x}_{3}=\frac{3}{9}$．
當(dāng)x∈[$\frac{3}{8}$，$\frac{1}{2}$]時(shí)，f₄（x）=|8x-3|=8x-3，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=7x-3，有零點(diǎn)${x}_{4}=\frac{3}{7}$；
（2）當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）時(shí)，f₂（x）=|2x-1|=2x-1，
③當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，f₃（x）=|4x-3|=3-4x，
當(dāng)x∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{8}$]時(shí)，f₄（x）=|5-8x|=5-8x，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=5-9x，有零點(diǎn)x₅=$\frac{5}{9}$．
當(dāng)x∈（$\frac{5}{8}$，$\frac{3}{4}$]時(shí)，f₄（x）=|5-8x|=8x-5，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=7x-5，有零點(diǎn)x₆=$\frac{5}{7}$．
④當(dāng)x∈（$\frac{3}{4}$，+∞）時(shí)，f₃（x）=|4x-3|=4x-3，
當(dāng)x∈（$\frac{3}{4}$，$\frac{7}{8}$]時(shí)，f₄（x）=|8x-7|=7-8x，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=7-9x，有零點(diǎn)x₇=$\frac{7}{9}$．
當(dāng)x∈（$\frac{7}{8}$，+∞）時(shí)，f₄（x）=|8x-7|=8x-7，
此時(shí)，g（x）=f₄（x）-x=7x-7，有零點(diǎn)x₈=1．
綜上所述，若函數(shù)g（x）=f_m（x）-x有8個(gè)零點(diǎn)．則m=4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，注意函數(shù)性質(zhì)和分類討論思想的合理運(yùn)用，是中檔題．