Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點．
（1）求異面直線A₁D和BC所成角的大小；
（2）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（3）求點C到平面A₁BD的距離．

Answer 1

（1）解：取BB₁的中點E，連接A₁E，DE，則
∵D為CC₁中點，E為BB₁的中點
∴DE∥BC
∴∠A₁DE（或其補角）為異面直線A₁D和BC所成角
在△A₁DE中，DE=2，A₁D=，A₁E=，
∴cos∠A₁DE=
∴∠A₁DE=
即異面直線A₁D和BC所成角為；
（2）證明：取BC中點O，連接AO．
∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC．
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，∴AO⊥平面BCC₁B₁．
連接B₁O，在正方形BB₁C₁C中，O，D分別為BC，CC₁的中點，∴B₁O⊥BD，∴AB₁⊥BD．
在正方形ABB₁A₁中，AB₁⊥A₁B，
又A₁B∩BD=B，∴AB₁⊥平面A₁BD．
（3）解：△A₁BD中，A₁D=BD=，A₁B=2，∴S_△A1BD=
在正三棱柱中，A₁到平面BCC₁B₁的距離為，S_△BCD=1．
設點C到平面A₁BD的距離為d．
由得，
∴．
∴點C到平面A₁BD的距離為．
分析：（1）取BB₁的中點E，連接A₁E，DE，則∠A₁DE（或其補角）為異面直線A₁D和BC所成角，在△A₁DE中，利用余弦定理可求異面直線A₁D和BC所成角；
（2）取BC中點O，連接AO，可得AO⊥平面BCC₁B₁，證明AB₁⊥BD，AB₁⊥A₁B，可得AB₁⊥平面A₁BD．
（3）由，可求點C到平面C的距離．
點評：本題考查線線角，考查線面垂直，考查點到面的距離，正確作出線線角，利用等體積轉化求點面距離是關鍵．