Question

（本小題滿分16分）
已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線與直線垂直．
(1) 求實數(shù)的值；                                                (6分)
(2) 求在（為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值；              (5分)
(3) 對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？                  (5分)

Answer 1

（1）當(dāng)時，，                      ………2分
由題意得：，即，                         ………4分
解得：。                                                    ………6分
（2）由（1）知：
①當(dāng)時，，
解得；解得或
∴在和上單減，在上單增，
由得：或，                          ………7分
∵　，
∴在上的最大值為。                                     
②當(dāng)時，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，在單調(diào)遞增；
∴在上的最大值為。                                      --……9分
∴當(dāng)時，在上的最大值為；
當(dāng)時，在上的最大值為。                         …………11分
（3）假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，不妨設(shè)，則，且。
∵是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形
∴，即（*）                          ……13分
是否存在等價于方程（*）是否有解。
①若，則，代入方程（*）得：，
即：，而此方程無實數(shù)解，從而，                    
∴，代入方程（*）得：，
即：，                                                
設(shè)，則在恒成立，
∴在上單調(diào)遞增，從而，則的值域為。
∴當(dāng)時，方程有解，即方程（*）有解。
∴對任意給定的正實數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，
使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸

略