【題目】已知橢圓上任一點(diǎn)到，的距離之和為4.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)，設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn),與交于，兩點(diǎn)，若直線的斜率與直線的斜率之和為，判斷直線是否過定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）定點(diǎn)，證明見解析

【解析】

(1)根據(jù)橢圓的定義可得,,a=2,則b2=a2﹣c2=2,即可求得橢圓方程;

(2)設(shè)直線l的方程,代入橢圓方程,根據(jù)韋達(dá)定理及直線的斜率公式化簡(jiǎn)可得m=﹣2k﹣4,再根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程,即可判斷直線l恒過定點(diǎn)(2,﹣4).

(1)由橢圓定義知,,,

所以,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;

(2)直線l恒過定點(diǎn)(2,﹣4),理由如下:

若直線斜率不存在,則,不合題意.

故可設(shè)直線方程:,

聯(lián)立方程組,代入消元并整理得:,

則,.

,將直線方程代入,

整理得:,

即,

韋達(dá)定理代入上式化簡(jiǎn)得:,

因?yàn)?/span>不過點(diǎn),所以,

所以,即,

所以直線方程為,即,

所以直線過定點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（其中為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）

（1）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值集合，

（2）已知正數(shù)滿足：存在，使不等式成立.

①求的取值集合；

②試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在三棱錐A﹣BCD中，△ABD和△ACD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，O、E分別是BC、AC的中點(diǎn)．

（1）求證：OE∥平面ABD；

（2）求證：平面ABC⊥平面BCD；

（3）求三棱錐A﹣BCD的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)坐標(biāo)，且點(diǎn)在橢圓上.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)A、B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足，垂足為B，連接AM交橢圓于點(diǎn)P（異于A），則是否存在定點(diǎn)T，使得以線段MP為直徑的圓恒過直線BP與MT的交點(diǎn)Q，若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某控制器中有一個(gè)易損部件，該部件由兩個(gè)電子元件按圖1方式連接而成.已知這兩個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立.（一個(gè)月按30天算）

（1）求該部件的使用壽命達(dá)到一個(gè)月及以上的概率；

（2）為了保證該控制器能穩(wěn)定工作，將若干個(gè)同樣的部件按圖2連接在一起組成集成塊.每一個(gè)部件是否能正常工作相互獨(dú)立.某開發(fā)商準(zhǔn)備大批量生產(chǎn)該集成塊，在投入生產(chǎn)前，進(jìn)行了市場(chǎng)調(diào)查，結(jié)果如下表：

集成塊類型

成本

銷售金額

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

其中是集成塊使用壽命達(dá)到一個(gè)月及以上的概率，為集成塊使用的部件個(gè)數(shù).報(bào)據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，試分析集成塊使用的部件個(gè)數(shù)為多少時(shí)，開發(fā)商所得利潤最大？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在常數(shù)，使恒成立?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩個(gè)平面，相互垂直，是它們的交線，則下面結(jié)論正確的是（ ）

A.垂直于平面的平面一定平行于平面

B.垂直于直線的平面一定平行于平面

C.垂直于平面的平面一定平行于直線

D.垂直于直線的平面一定與平面，都垂直

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）將與的方程化為極坐標(biāo)方程；

（2）若曲線與的公共點(diǎn)都在上，，求r.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，為橢圓上兩點(diǎn)，圓.

（1）若軸，且滿足直線與圓相切，求圓的方程；

（2）若圓的半徑為，點(diǎn)滿足，求直線被圓截得弦長(zhǎng)的最大值.

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