Question

14．如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，∠EBD=45°．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDE；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析 （I）四邊形ABCD是正方形，可得AC⊥DB．由DE⊥平面ABCD，可得DE⊥AC，利用線面垂直的判定定理即可證明．
（II）四邊形ABCD是邊長為2的正方形，可得DB=2$\sqrt{2}$，又∠EBD=45°，可得DE=DB=2$\sqrt{2}$．又DE=2AF，可得AF=$\sqrt{2}$．利用線面垂直的性質(zhì)定理可得AF⊥AD．四邊形ADEF的面積S，利用已知可得AB⊥平面ADEF，V_{四棱錐ADEF}=$\frac{1}{3}S•AB$．V_{三棱錐E-BCD}=$\frac{1}{3}DE•{S}_{△BCD}$，即可得出．

解答 （I）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥DB．
∵DE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴DE⊥AC，
又DE∩DB=D，∴AC⊥平面BDE．
（II）解：四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
∴DB=2$\sqrt{2}$，
又∠EBD=45°，∴DE=DB=2$\sqrt{2}$．
∵DE=2AF，∴AF=$\sqrt{2}$．
∵DE⊥平面ABCD，AF∥DE，
∴DE⊥AD，AF⊥平面ABCD，
∴AF⊥AD．
四邊形ADEF的面積S=$\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{2}}{2}×2$=3$\sqrt{2}$．
∵DE⊥平面ABCD，∴DE⊥AB．
又AB⊥AD，AD∩DE=D，
∴AB⊥平面ADEF，
∴V_{四棱錐B-ADEF}=$\frac{1}{3}S•AB$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{2}×2$=2$\sqrt{2}$．
V_{三棱錐E-BCD}=$\frac{1}{3}DE•{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×2\sqrt{2}×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
∴該幾何體的體積=2$\sqrt{2}$+$\frac{4\sqrt{2}}{3}$=$\frac{10\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三棱錐與四棱錐的體積計算公式、正方形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．