Question

15．函數(shù)f（x）=-2sin²x+sin2x+1，給出下列4個(gè)命題：
①直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)圖象的一條對稱軸；
②若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則f（x）的值域是[0，$\sqrt{2}$]；
③在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上是減函數(shù)；
④函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{4}$而得到．
其中正確命題序號是①③．

Answer 1

分析 化簡函數(shù)f（x）=-2sin²x+sin2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
對于①，利用f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$為函數(shù)f（x）的最大值，可判斷①；
對于②，x∈[0，$\frac{π}{2}$]⇒2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]⇒sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]⇒$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，可判斷②；
對于③，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）可得其單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z），令k=0，可判斷③；
對于④，由f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2（x+$\frac{π}{8}$），可判斷④．

解答 解：函數(shù)f（x）=-2sin²x+sin2x+1=cos2x+sin2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
對于①，∵f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$為函數(shù)f（x）的最大值，∴直線x=$\frac{π}{8}$是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故①正確；
對于②，若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[-1，$\sqrt{2}$]，即f（x）的值域是[-1，$\sqrt{2}$]，故②錯(cuò)誤；
對于③，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$（k∈Z）得：kπ+$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{8}$（k∈Z），令x=0，得：$\frac{π}{8}$≤x≤$\frac{5π}{8}$，∴在區(qū)間[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上是減函數(shù)，故③正確；
對于④，∵f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin2（x+$\frac{π}{8}$），∴函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=$\sqrt{2}$sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{8}$而得到，故④錯(cuò)誤．
綜上所述，正確命題序號是①③，
故答案為：①③．

點(diǎn)評 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，突出考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查分析、推理與運(yùn)算能力，屬于中檔題．