6.已知定義域?yàn)椋?1,1),函數(shù)f(x)=-x3+3x且f(a-3)+f(9-a2)<0,則a的取值范圍是(3,$\sqrt{10}$).

分析 先判斷函數(shù)f(x)的奇偶性、單調(diào)性,然后把f(a-3)+f(9-a2)<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的值間的大小關(guān)系,解不等式即可,要注意函數(shù)定義域.

解答 解:因?yàn)閒(-x)=-(-x)3+(-3x)=x3-x=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù),
又f(x)=-x3+3x單調(diào)遞增,
所以f(a-3)+f(9-a2)<0,可化為f(a-3)<-f(9-a2)=f(a2-9),
所以有$\left\{\begin{array}{l}{a-3<{a}^{2}-9}\\{-1<a-3<1}\\{-1<{a}^{2}-9<1}\end{array}\right.$,解得3<a<$\sqrt{10}$
故答案為:(3,$\sqrt{10}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及不等式的求解,解決本題的關(guān)鍵是利用函數(shù)f(x)的性質(zhì)把不等式中的符號(hào)“f”去掉,變成關(guān)于自變量值間的關(guān)系.

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