已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an},若前n項(xiàng)和為Sn,且滿足2Sn=an2+an,若數(shù)列{
1
an
2}的前n項(xiàng)和為Tn,求證:Tn
7
4
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:首先根據(jù)2a1=a12+a1,求出a1=1,2Sn=an2+an…①,2Sn-1=an-12+an-1…②,①-②,求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;然后求出數(shù)列{
1
an
2}的前n項(xiàng)和Tn,n=1時(shí),T1=a1=1<
7
4
成立,當(dāng)n>1時(shí),
1
n2
1
n(n-1)
1
n-1
-
1
n
,據(jù)此證明Tn
7
4
即可.
解答: 證明:(1)因?yàn)?Sn=an2+an…①,所以2a1=a12+a1,
解得a1=1或0(舍去),
且2Sn-1=an-12+an-1…②,
①-②,可得2an=an2-an-12+an-an-1,
整理,可得(an-an-1-1)(an+an-1)=0;
又因?yàn)閿?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù),
所以an-an-1-1=0,即an=an-1+1,
因此{(lán)an}為等差數(shù)列,an=n,
經(jīng)檢驗(yàn),a1=1也符合上式,
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為:an=n;
(2)由(1)知Tn=
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2

n=1時(shí),T1=a1=1<
7
4
成立,
當(dāng)n>1時(shí),
1
n2
1
n(n-1)
1
n-1
-
1
n
,
Tn=
1
12
+
1
22
+
1
32
+…+
1
n2
<1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)
+…+(
1
n-1
-
1
n
)
=2-
1
n
3
2
7
4

所以Tn
7
4
成立.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的運(yùn)用,考查了數(shù)列的求和,屬于中檔題,解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=log2(4-x),g(x)=log2x.
(1)求f(x)的定義域;
(2)求f(x)+g(x)的值域;
(3)如果對(duì)任意的x∈[1,4]不等式(4-2g(x))•f(4-x)-k≤0求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx.
(1)若曲線y=g(x)與y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a,b,c的值;
(2)當(dāng)a2+b=0時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)在區(qū)間(-∞,-1]上的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

4(-3)4
的值為
 

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如圖,多面體ABCC1A1B1中,四邊形AA1C1C是正方形,四邊形BCC1B1是直角梯形,CC1⊥BC且BC∥B1C1.△ACB、△A1C1B1都是等腰直角三角形,A、B1分別為直角頂點(diǎn),M是B1B上的點(diǎn),BM=2MB1
(1)證明CM⊥平面A1B1B;
(2)求二面角A-A1M-B的余弦值;
(3)當(dāng)AA1=1時(shí),求多面體ABCC1A1B1的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,a2=5,a6=21,記數(shù)列{
1
an
}的前n項(xiàng)和為Sn,
(Ⅰ)數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=
 

(Ⅱ)若S2n+1-Sn
m
15
對(duì)n∈N*恒成立,則正整數(shù)m的最小值為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

2013年我國(guó)汽車擁有量已超過2億(目前只有中國(guó)和美國(guó)超過2億),為了控制汽車尾氣對(duì)環(huán)境的污染,國(guó)家鼓勵(lì)和補(bǔ)貼購(gòu)買小排量汽車的消費(fèi)者,同時(shí)在部分地區(qū)采取對(duì)新車限量上號(hào).某市采取對(duì)新車限量上號(hào)政策,已知2013年年初汽車擁有量為x1(x1=100萬輛),第n年(2013年為第1年,2014年為第2年,依此類推)年初的擁有量記為xn,該年的增長(zhǎng)量yn和xn與1-
xn
m
的乘積成正比,比例系數(shù)為λ(0<λ<1),其中m=200萬.
(1)證明:yn≤50λ;
(2)用xn表示xn+1;并說明該市汽車總擁有量是否能控制在200萬輛內(nèi).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在等差數(shù)列{an}中,a4=-15,公差d=3,求數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

等差數(shù)列{an}中,已知a2≤7,a6≥9,則a10的取值范圍是
 

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