Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|，若不等式f（x）≤3的解集為{|x|﹣1≤x≤5}． （Ⅰ）求實數(shù)a的值：
（Ⅱ）若不等式f（3x）+f（x+3）≥m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．解得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}． 所以 ，解得a=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，設函數(shù)g（x）=f（3x）+f（x+3），則
所以函數(shù)g（x）的最小值為 ．
由不等式f（3x）+f（x+3）≥m對一切實數(shù)x恒成立，得 ．
于是實數(shù)m的取值范圍為
【解析】（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3．得a﹣3≤x≤a+3．又不等式f（x）≤3的解集為{x|﹣1≤x≤5}．所以 ，解得a．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=|x﹣2|，設函數(shù)g（x）=f（3x）+f（x+3），求出函數(shù)g（x）的最小值，m≤g（x）的最小值即可．
【考點精析】掌握絕對值不等式的解法是解答本題的根本，需要知道含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關鍵是去掉絕對值的符號．