Question

【題目】已知函數(shù)（且，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）代入，得，所以，求出，由直線方程的點(diǎn)斜式，即可得到切線方程；

（2）分和兩種情況，考慮函數(shù)的最小值，令最小值等于0，即可得到a的值.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

，，∴切線方程為 ;

（2），，

令，得，

1）當(dāng)時(shí)，，

x
	－	0	＋
		極小值

所以當(dāng)時(shí)，有最小值，.

因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，

所以，即，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以此方程無(wú)解.

2）當(dāng)時(shí)，，

x
	－	0	＋
		極小值

所以當(dāng)時(shí)，有最小值，.

因?yàn)楹瘮?shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)和時(shí)，都有，

所以，即（）（*），

設(shè)（），則，

令，得，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

所以當(dāng)時(shí)，，

所以方程（*）有且只有一解.

綜上，時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn).