已知函數(shù)f(x)的定義域為[-1,5],部分對應(yīng)值如下表.
x -1 0 4 5
f(x) 1 2 2 1
f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示:下列關(guān)于f(x)的命題:
①函數(shù)f(x)是周期函數(shù);
②函數(shù)f(x)在[0,2]是減函數(shù);
③如果當(dāng)x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么t的最大值為4;
④函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)個數(shù)可能為0、1、2、3、4個.
其中正確命題的序號是
②④
②④
分析:先由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系畫出原函數(shù)的大致圖象,再借助與圖象和導(dǎo)函數(shù)的圖象,對四個命題,一一進(jìn)行驗證,對于假命題采用舉反例的方法進(jìn)行排除即可得到答案.
解答:解:由導(dǎo)函數(shù)的圖象和原函數(shù)的關(guān)系得,原函數(shù)的大致圖象如圖:

由圖得:∵函數(shù)的定義域為閉區(qū)間,而周期函數(shù)的定義域一定是無界的,故①為假命題;
②為真命題.因為在[0,2]上導(dǎo)函數(shù)為負(fù),故原函數(shù)遞減;
由已知中y=f′(x)的圖象,及表中數(shù)據(jù)可得當(dāng)x=0或x=4時,函數(shù)取最大值2,若x∈[-1,t]時,f(x)的最大值是2,那么0≤t≤5,故t的最大值為5,即③錯誤
∵函數(shù)f(x)在定義域為[-1,5]共有兩個單調(diào)增區(qū)間,兩個單調(diào)減區(qū)間,故函數(shù)y=f(x)-a的零點(diǎn)個數(shù)可能為0、1、2、3、4個,即④正確
故答案為:②④
點(diǎn)評:本題主要考查導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系.二者之間的關(guān)系是:導(dǎo)函數(shù)為正,原函數(shù)遞增;導(dǎo)函數(shù)為負(fù),原函數(shù)遞減.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
,M(x1y1),N(x2,y2)
是f(x)圖象上的兩點(diǎn),橫坐標(biāo)為
1
2
的點(diǎn)P滿足2
OP
=
OM
+
ON
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).
(Ⅰ)求證:y1+y2為定值;
(Ⅱ)若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)
,其中n∈N*,且n≥2,求Sn;
(Ⅲ)已知an=
1
6
,                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
,n≥2
,其中n∈N*,Tn為數(shù)列{an}的前n項和,若Tn<m(Sn+1+1)對一切n∈N*都成立,試求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

下列說法正確的有( 。﹤.
①已知函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),若f(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,則對任意的?x∈(a,b),有f′(x)>0.
②函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在,則函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在;反之若函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的導(dǎo)數(shù)存在,則函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)P處的切線存在.
③因為3>2,所以3+i>2+i,其中i為虛數(shù)單位.
④定積分定義可以分為:分割、近似代替、求和、取極限四步,對求和In=
n
i=1
f(ξi)△x
中ξi的選取是任意的,且In僅于n有關(guān).
⑤已知2i-3是方程2x2+px+q=0的一個根,則實(shí)數(shù)p,q的值分別是12,26.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=sin(2x-
π
6
),g(x)=sin(2x+
π
3
),直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點(diǎn)為A,B,若m變化時,AB的長度是一個定值,則AB的值是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x,其圖象記為曲線C.
(i)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(ii)證明:若對于任意非零實(shí)數(shù)x1,曲線C與其在點(diǎn)P1(x1,f(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2,f(x2)),曲線C與其在點(diǎn)P2(x2,f(x2))處的切線交于另一點(diǎn)P3(x3,f(x3)),線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成封閉圖形的面積記為S1,S2.則
S1S2
為定值;
(Ⅱ)對于一般的三次函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),請給出類似于(Ⅰ)(ii)的正確命題,并予以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x3-ax+b存在極值點(diǎn).
(1)求a的取值范圍;
(2)過曲線y=f(x)外的點(diǎn)P(1,0)作曲線y=f(x)的切線,所作切線恰有兩條,切點(diǎn)分別為A、B.
(。┳C明:a=b;
(ⅱ)請問△PAB的面積是否為定值?若是,求此定值;若不是求出面積的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案