Question

16．已知橢圓的焦點分別為F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），長軸長為6，設直線x-y+2=0交橢圓于A、B兩點
（1）求橢圓的方程；
（2）求線段AB的中點坐標．

Answer 1

分析 （1）橢圓的焦點F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），焦點在x軸上，設橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，a=3，b²=a²-c²=9-8=1，即可求得橢圓的方程；
（2）由（1）可知，將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理可知x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，根據中點坐標公式求得x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{5}$，則y₀=x₀+2=$\frac{1}{5}$，即可求得線段AB的中點坐標．

解答 解：（1）由題意可知：橢圓的焦點F₁（-2$\sqrt{2}$，0）、F₂（2$\sqrt{2}$，0），焦點在x軸上，
設橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），c=2$\sqrt{2}$，a=3，
b²=a²-c²=9-8=1，
∴橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1$；
（2）由（1）可知：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+2}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，消y整理得：10x²+36x+27=0，
由△=36²-4×10×27=216＞0，
∴直線與橢圓有兩個不同的交點，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中點E（x₀，y₀），
則x₁+x₂=-$\frac{18}{5}$，
由中點坐標公式可知：x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{9}{5}$，y₀=x₀+2=$\frac{1}{5}$，
故線段AB的中點坐標為（-$\frac{9}{5}$，$\frac{1}{5}$）．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理及中點坐標公式，考查計算能力，屬于中檔題．