Question

6．正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則此棱錐的體積為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{4}{3}\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由題意知該正三棱錐是正方體的一個(gè)角，且這個(gè)正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為2，棱長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，由此能求出此棱錐的體積．

解答 解：如圖，∵正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，三條側(cè)棱兩兩互相垂直，
∴該正三棱錐是正方體的一個(gè)角S-ABC，且AB=AC=BC=2，
∴SA=SB=SC=$\sqrt{2}$，
∴此棱錐的體積：
V_S-ABC=V_B-ACS
=$\frac{1}{3}×{S}_{△ACS}×SB$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×SA×SC×SB$
=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．