Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=1，

1，n=1 kan-1+2，n＞1

，則
（1）當(dāng)k=1時，求數(shù)列{a_n}的前n項和s_n；
（2）當(dāng)k=2時，證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意可得當(dāng)n＞1時，a_n-a_n-1=2，判斷出數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，代入前n項和公式化簡；
（2）根據(jù)題意得當(dāng)n＞1時，a_n=2a_n-1+2，代入

an+2

an-1+2

化簡得到常數(shù)，可證明數(shù)列{a_n+2}是等比數(shù)列．

解答： 解：（1）由題意得，an=

1，n=1 kan-1+2，n＞1

，
當(dāng)k=1時，則當(dāng)n＞1時，a_n-a_n-1=2，
則數(shù)列{a_n}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
所以s_n=n+

n(n-1)

2

×2=n²；
（2）當(dāng)k=2時，則當(dāng)n＞1時，a_n=2a_n-1+2，
所以

an+2

an-1+2

=

2an-1+4

an-1+2

=2，
則數(shù)列{a_n+2}是以2為公比的等比數(shù)列．

點評：本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義的應(yīng)用，以及等差數(shù)列前n項和公式，屬于中檔題．