Question

7．如圖所示，A（2$\sqrt{3}$，0）、B、C是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的三點(diǎn)，BC過橢圓E的中心且斜率為1，橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)內(nèi)構(gòu)成正三角形．
（1）求橢圓E的方程；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a=2$\sqrt{3}$，再由正三角形的條件可得a=$\sqrt{3}$b，解得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）由題意寫出A點(diǎn)坐標(biāo)，直線CB方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程可求得交點(diǎn)C、B的縱坐標(biāo)，S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|y_B-y_C|，代入數(shù)值即可求得面積．

解答 解：（1）A的坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，0），即有a=2$\sqrt{3}$，
橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成正三角形，
可得a=$\sqrt{3}$b，解得b=2，
則橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
（2）直線BC的方程為y=x，
代入橢圓方程x²+3y²=12，得y=x=±$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$|OA|•|y_B-y_C|=$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$=6，
△ABC的面積為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系、三角形面積公式，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．