Question

函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ) (A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)部分圖象如圖所示．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并寫出其單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+2cos2x，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[-

π

6

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過函數(shù)的圖象求出A，T，然后推出ω，利用x=

π

6

時(shí)，f（x）=2，求出φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）通過兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)函數(shù)g（x）=f（x）+2cos2x為一個(gè)三角函數(shù)的形式，利用[-

π

6

，

π

4

]，求出相位的范圍，通過三角函數(shù)求解函數(shù)的最大值和最小值．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由圖可得A=2，

T

2

=

2π

3

-

π

6

=

π

2

，
所以T=π，所以ω=2． …（2分）
當(dāng)x=

π

6

時(shí)，f（x）=2，可得 2sin(2•

π

6

+φ)=2，
因?yàn)?span id="2a7dlpx" class="MathJye">|φ|＜

π

2

，所以φ=

π

6

．  …（4分）
所以函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=2sin(2x+

π

6

)．…（5分）
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

](k∈Z)．…（7分）
（Ⅱ）因?yàn)?span id="jkdltrq" class="MathJye">g(x)=f(x)+2cos2x=2sin(2x+

π

6

)+2cos2x=2sin2xcos

π

6

+2cos2xsin

π

6

+2cos2x…（8分）
=

3

sin2x+3cos2x=2

3

sin(2x+

π

3

)．…（10分）
因?yàn)?span id="oa3w4pn" class="MathJye">x∈[-

π

6

，

π

4

]，所以0≤2x+

π

3

≤

5π

6

．
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時(shí)，函數(shù)g（x）有最大值為2

3

；    …（12分）
當(dāng)2x+

π

3

=0，即x=-

π

6

時(shí)，函數(shù)g（x）有最小值0．      …（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)的應(yīng)用，三角函數(shù)的單調(diào)性的求法，考查計(jì)算能力．