Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列的前項(xiàng)和，且．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）令，是否存在，使得、、成等比數(shù)列．若存在，求出所有符合條件的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）；（2）不存在k.

【解析】

試題分析：本題主要考查由求、等比中項(xiàng)、均值定理、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、反證法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力. 第一問，由計(jì)算得到，從而判斷出數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列，即，所以；第二問，用反證法，先利用等比中項(xiàng)列出，再代入中，利用均值定理進(jìn)行變形，再利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)化簡，從而得到，得到矛盾，從而證出所求證的結(jié)論.

試題解析：（1）解法1：當(dāng)時(shí)，， 2分

即． 4分

∴數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列． 5分

∴，即．

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 7分

解法2：當(dāng)時(shí)，， 2分

∴． 4分

． 5分

∵，符合的表達(dá)式． 6分

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為． 7分

（2）假設(shè)存在，使得、、成等比數(shù)列，

則． 8分

∵，

∴ 11分

． 13分

這與矛盾．

∴不存在，使得、、成等比數(shù)列． 14分

考點(diǎn)：由求、等比中項(xiàng)、均值定理、對(duì)數(shù)的性質(zhì)、反證法.