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【題目】已知橢圓C：（）經過，兩點.O為坐標原點，且的面積為.過點且斜率為k（）的直線l與橢圓C有兩個不同的交點M，N，且直線，分別與y軸交于點S，T.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）求直線l的斜率k的取值范圍；

（Ⅲ）設，，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）把點A坐標代入橢圓的方程得.由的面積為可知，，解得b，進而得橢圓C的方程.

（Ⅱ）設直線l的方程為，，.聯立直線l與橢圓C的方程可得關于x的一元二次方程.，進而解得k的取值范圍.

（Ⅲ）因為，，，，寫出直線的方程，令，解得.點S的坐標為.同理可得：點T的坐標為.用坐標表示，，，代入，，得.同理.由（Ⅱ）得，，代入，化簡再求取值范圍.

（Ⅰ）因為橢圓C：經過點，

所以解得.

由的面積為可知，，

解得，

所以橢圓C的方程為.

（Ⅱ）設直線l的方程為，，.

聯立，消y整理可得：.

因為直線與橢圓有兩個不同的交點，

所以，解得.

因為，所以k的取值范圍是.

（Ⅲ）因為，，，.

所以直線的方程是：.

令，解得.

所以點S的坐標為.

同理可得：點T的坐標為.

所以，，.

由，，

可得：，，

所以.

同理.

由（Ⅱ）得，，

所以

所以的范圍是.

練習冊系列答案
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（1）求被調查者中肥胖人群的BMI平均值；

（2）填寫下面列聯表，并判斷是否有99.9%的把握認為35歲以上成人患高血壓與肥胖有關.

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

肥胖

不肥胖

合計

高血壓

非高血壓

合計

附：，

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表1：

API值

[0，50]

（50，100]

（100，150]

（150，200]

（200，250]

（250，300]

大于300

天數

9

13

19

30

14

11

4

（1）將頻率視為概率，求乙方案樣本的頻率分布直方圖中的值，以及乙方案樣本的空氣質量不合格天數；

（2）求乙方案樣木的中位數；

（3）填寫下面2×2列聯表（如表2），并根據列聯表判斷是否有90%的把握認為該城市的空氣質量指數值與兩種方案的選擇有關.

表2：

甲方案

乙方案

合計

合格天數

_______

_______

_______

不合格天數

_______

_______

_______

合計

_______

_______

_______

附：

0.10

0.05

0.025

2.706

3.841

5.024

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【題目】選修4-4：坐標系與參數方程

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A.10B.100C.1000D.10000

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