Question

拋物線y=

1

2

x2將圓面x²+y²≤8分成兩部分，現(xiàn)在向圓面上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為

1

4

+

1

6π

，則定積分

∫

2 0

(

8-x2

-

1

2

x2)dx=

 

．

Answer 1

分析：先由向圓面上均勻投點(diǎn)，這些點(diǎn)落在圖中陰影部分的概率為

1

4

+

1

6π

，再轉(zhuǎn)化為幾何概型的面積類型求解，求出陰影部分的面積，根據(jù)定積分的幾何意義，求得結(jié)果．

解答：解：解方程組

x2+y2=8 y= 1 2 x2

可得到x=±2所以陰影部分的面積為積分

∫

2 -2

(

8-x2

-

1

2

x2)dx，
根據(jù)幾何概型可得陰影部分的面積是2π+

4

3

，
∴

∫

2 0

(

8-x2

-

1

2

x2)dx=π+

2

3

故答案為π+

2

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查實(shí)驗(yàn)法求概率以及幾何概型中面積類型，以及定積分的幾何意義，將兩者建立關(guān)系，引入方程思想．屬中檔題．