Question

2．已知函數(shù)y=$\frac{1}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinxcosx+1，x∈R．
（1）求它的振幅、周期和初相；
（2）求此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求函數(shù)的最大值、最小值及取得最值時x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）應(yīng)用二倍角公式、化一公式；（2）用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)最值．

解答 解：（1）$y=\frac{1}{2}•\frac{1+cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x+1$=$\frac{1}{4}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x+\frac{5}{4}=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{5}{4}$．故函數(shù)的振幅A=$\frac{1}{2}$，周期為π，初相為$\frac{π}{6}$．
（2）∵-$\frac{π}{2}+2kπ＜2x+\frac{π}{6}＜\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$∴$-\frac{π}{3}+kπ＜x＜\frac{π}{6}+kπ$，故此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為$（-\frac{π}{3}+kπ，\frac{π}{6}+kπ），k∈Z$
（3）∵$x∈[0，\frac{π}{2}]∴2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$∴$sin（2x+\frac{π}{6}）∈[-\frac{1}{2}，1]$，故函數(shù)的最大值為$\frac{7}{4}$，此時x的取值集合為{$\frac{π}{6}$}；最小值為1，此時x的取值集合為{$\frac{π}{2}$}．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)求值，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)求最值問題．