Question

11．已知函數(shù)f（x）=a+msin2x+ncos2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（$\frac{π}{4}$，1），且當(dāng)x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在向量$\overrightarrow m$，使得將f（x）的圖象按向量$\overrightarrow m$平移后可以得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象？若存在，求出$|{\overrightarrow m}|$最小的$\overrightarrow m$；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意求得m、n、a間的關(guān)系，再根據(jù)當(dāng)x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，f（x）取得最大值2$\sqrt{2}$-1，求得a的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，求得$|{\overrightarrow m}|$最小的$\overrightarrow m$．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=a+msin2x+ncos2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），B（$\frac{π}{4}$，1），
∴a+0+n=1，且a+m+0=1，求得m=n=1-a，
故有f（x）=a+（1-a）sin2x+（1-a）cos2x=a+$\sqrt{2}$（1-a）sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
①若1-a＞0，∵當(dāng)x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，f（x）取得最大值為a+$\sqrt{2}$（1-a）．
又f（x）的最大值2$\sqrt{2}$-1，可得a+$\sqrt{2}$（1-a）=2$\sqrt{2}$-1，求得a=-1，
∴f（x）=-1+2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
②若1-a＜0，∵當(dāng)x∈$[{0，\frac{π}{4}}]$時(shí)，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$時(shí)，f（x）取得最大值為a+$\sqrt{2}$（1-a）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
又f（x）的最大值2$\sqrt{2}$-1，可得a+$\sqrt{2}$（1-a）•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=2$\sqrt{2}$-1，求得a無解．
③若1-a=0，f（x）=1，不滿足條件．
綜上可得，a=-1，f（x）=-1+2$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．
（2）把f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{8}$個(gè)單位，可得y=-1+2$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{4}$）=-1+2$\sqrt{2}$sin2x的圖象；
再把所的圖象向上平移1個(gè)單位，可得奇函數(shù)y=2$\sqrt{2}$sin2x的圖象，此時(shí)，平移的距離最�。�
故若將f（x）的圖象按向量$\overrightarrow m$ 平移后可以得到一個(gè)奇函數(shù)的圖象，則存在$\overrightarrow{m}$=（$\frac{π}{8}$，1），且滿足|$\overrightarrow{m}$|最�。�

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題．