Question

如圖，由y=0，x=8，y=x²圍成了曲邊三角形OAB，M為曲線弧OB上一點(diǎn)，
設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀，過M作y=x²的切線PQ
（1）求PQ所在直線的方程（用x₀表示）；
（2）當(dāng)PQ與OA，AB圍成的三角形PQA面積最大時(shí)，求x₀．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)y=x²在M處的導(dǎo)數(shù)值，即切線PQ的斜率，利用點(diǎn)斜式寫出直線PQ的方程．
（2）對(duì)于直線PQ的方程分別令y=0，x=8得到直線PQ與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及與直線x=8的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)距離公式求出三角形的兩條直角邊，利用三角形的面積表示出面積，對(duì)面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)等于0，判斷出根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，求出最大值．

解答：解：（1）f′（x₀）=2x₀    M（x₀，x₀²）
∴PQ的方程2x₀x-y-x₀²=0
（2）PQ的方程中，令y=0，x=

x0

2

∴P(

x0

2

，0)
∴|AP|=8-

x0

2

PQ的方程中，令x=8，則y=16x₀-x₀²
∴|AQ|=16x₀-x₀²
．令S_△PQA=u
∴u′=

3

4

x02-16x0+64
∴x0=

16

3

，x0=16(舍)
∵(0，

16

3

)是函數(shù)的增區(qū)(

16

3

，8)是函數(shù)的減區(qū)
∴x0=

16

3

時(shí)面積最大

點(diǎn)評(píng)：解決曲線的切線斜率問題，一般利用函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率；解決實(shí)際問題中的函數(shù)的最值問題，一般利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極值即函數(shù)的最值．