設函數(shù)f（x）=
1
3
x-lnx，則y=f（x）
 
．（填寫正確命題的序號）
①在區(qū)間（
1
e
，1），（1，e）內(nèi)均有零點； ②在區(qū)間（
1
e
，1）內(nèi)有零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)無零點；
③在區(qū)間（
1
e
，1），（1，e）內(nèi)均無零點； ④在區(qū)間（
1
e
，1）內(nèi)無零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點．
分析：根據(jù)所給的四個命題中所提到兩個區(qū)間的端點對應的數(shù)字，做出三個數(shù)字對應的函數(shù)值，觀察兩個端點的函數(shù)值的符號是否相反，根據(jù)零點的判定定理得到結(jié)果．
解答：解：根據(jù)題意，f′（x）=
x-3
3x
，
令f′（x）=0得x=3，
故知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上為減函數(shù)，在區(qū)間（3，+∞）為增函數(shù)，
在點x=3處有極小值1-ln3＜0；
∵f（
1
e
）=
1
3e
+1＞0，
f（1）=
1
3
＞0，
f（e）=
e
3
-1＜0，
則f（x）在（1，e）內(nèi)有零點，在區(qū)間（
1
e
，1）內(nèi)無零點，
故答案為：④
點評：本題考查函數(shù)零點，本題解題的關鍵是看出函數(shù)在幾個點對應的函數(shù)值的符號，本題是一個基礎題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）設函數(shù)f（x）=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x2+x-1(x≥0)
，若f（a）＞1，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）定義在實數(shù)集上，它的圖象關于直線x=1對稱，且當x≥1時，f（x）=3x-1，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為D，若對任意x1，x2∈D，當x1＜x2時，都有f（x1）≤f（x2），則稱函數(shù)f（x）在D上為非減函數(shù)．設函數(shù)f（x）在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①f（0）=0；②f(
x
3
)=
1
2
f(x)；③f（1-x）=2-f（x）．則f(
1
3
)+f(
1
8
)=（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•成都一模）設函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx，記f（x）的導函數(shù)是f′（x）．
（I）當a=-1，b=c=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當c=-a2（a＞0）時，若函數(shù)f（x）的兩個極值點x1、x2滿足|x1-x2|=2，求b的取值范圍；
（III）若a=-
1
3
令h（x）=|f′（x）|，記h（x）在[-1，1]上的最大值為H，當b≥0，c∈R時，證明：H≥
1
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=
1
3
 x3+bx2+cx（c＜b＜1）在x=1處取到一個極小值，且存在實數(shù)m，使f′（m）=-1，
①證明：-3＜c≤-1；
②判斷f′（m-4）的正負并加以證明；
③若f（x）在x∈[m-4，1]上的最大值等于
-2c
3
，求f（x）在x∈[m-4，1]上的最小值．

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