Question

已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸的負半軸上，過其上一點P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀）（a為常數）．
（I）求拋物線方程；
（II）斜率為k₁的直線PA與拋物線的另一交點為A，斜率為k₂的直線PB與拋物線的另一交點為B（A、B兩點不同），且滿足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），若

BM

=λ

MA

，求證線段PM的中點在y軸上；
（III）在（II）的條件下，當λ=1，k₁＜0時，若P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

（I）由題意可設拋物線的方程為x²=-2py（p＞0），
由過點p（x₀，y₀）（x₀≠0）的切線方程為y-y₀=2ax₀（x-x₀），得
∴y′|x=x0=-

x0

p

=2ax0，
因此p=-

1

2a

．
∴拋物線的方程為y=ax²（a＜0）．
（II）直線PA的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），

y=ax2 y-y0=k1(x-x0).

'
∴ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，∴xA+x0=

k1

a

，xA=

k1

a

-x0．
同理，可得xB=

k2

a

-x0．
∵k₂+λk₁=0，∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

a

-x0．
又

BM

=λ

MA

(λ≠0，λ≠-1)，
∴x_M-x_B=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

=-x0．
∴線段PM的中點在y軸上．
（III）由λ=1，P（1，-1），可知a=-1．
∴A（-k₁-1，-（k₁+1）²），B（k₁-1，-（k₁-1）²）．
∴

AP

=(2+k1，

k

21

+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)．
∵∠PAB為鈍角，且P，A，B不共線，
∴

AP

•

AB

＜0．
即（2+k₁）•2k₁+（k₁²+2k₁）•4k₁＜0．
∴k₁（2k₁²+5k₁+2）＜0．
∵k₁＜0，
∴2k₁²+5k₁+2＞0．
∴k1＜-2，  或-

1

2

＜k1＜0．
又∵點A的縱坐標y_A=-（k₁+1）²，
∴當k₁＜-2時，y_A＜-1；
當-

1

2

＜k₁＜0時，-1＜y_A＜-

1

4

．
∴∠PAB為鈍角時點A的坐標的取值范圍為(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．