Question

【題目】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，其面積為2．

（1）求的方程；

（2）延長(zhǎng)AF交C于點(diǎn)B，點(diǎn)M是C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，設(shè)直線，，的斜率分別是，證明：．

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合勾股定義以及三角形面積，即可求得，則拋物線方程可求；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到關(guān)于的一元二次方程，將斜率之和表示出來(lái)，結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明.

（1）依題意可知，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)：

若時(shí)，根據(jù)拋物線定義，顯然不成立；

若時(shí)，顯然也不成立.

故.

∵拋物線方程為，

∴焦點(diǎn)，，

∴的面積，解得，

∴拋物線的方程為

（2）證明：由（1）知，

設(shè)直線的方程：代入得:，

設(shè)，所以

設(shè)，則：，，

∵，∴

∴

∴.