已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調遞增區(qū)間．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積，二倍角公式、兩角和的正弦函數(shù)化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，直接求f（x）的最小正周期；
（2）x∈[-
π
3
，
π
6
]，求出2x+
π
3
的范圍，然后求函數(shù)f（x）的值域；
（3）利用正弦函數(shù)的單調增區(qū)間，直接求出f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調遞增區(qū)間．
解答：解：（1）f(x)=
a
•
b
=
3
(cosx-1)(1+cosx)+sinxcosx
=-
3
sin2x+sinxcosx=-
3
2
(1-cos2x)+
1
2
sin2x
=-
3
2
+sin(2x+
π
3
)（4分）
f（x）的最小正周期為T=
2π
2
=π．（6分）
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，(2x+
π
3
)∈[-
π
3
，
2π
3
]，sin(2x+
π
3
)∈[-
3
2
，1]
∴f(x)∈[-
3
，1-
3
2
]（11分）
（3）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，
得-
5π
12
+kπ≤x≤
π
12
+kπ，k∈Z
∵x∈[0，π]
∴f（x）的單調增區(qū)間為[0，
π
12
]和[
7π
12
，π]（14分）
點評：本題是中檔題，考查三角函數(shù)的化簡求值，周期的求法，向量的數(shù)量積的應用，三角函數(shù)的單調性，考查計算能力，常考題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求f(
25π
6
)的值；
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(cosx，2sinx)，
b
=(2cosx，
3
cosx)，f(x)=
a
•
b
．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期； （2）求函數(shù)f（x）單調遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•大連二模）已知向量
a
，
b
滿足
a
=（-2sinx，
3
cosx+
3
sinx），
b
=（cosx，cosx-sinx），函數(shù)，f（x）=
a
•
b
（x∈R）．
（I）將f（x）化成Asin（（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π的形式；
（Ⅱ）已知數(shù)列an=
n
2
 
f(
nπ
2
-
11π
24
)(n∈N*)，求{an}的前2n項和S2n．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=(
3
cosx-
3
，sinx)，
b
=(1+cosx，cosx)，設f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[-
π
3
，
π
6
]時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）求f（x）在區(qū)間[0，π]上的單調遞增區(qū)間．

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