Question

設(shè)數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)和為S_n，滿足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^*，且a₁，a₂+5，a₃成等差數(shù)列．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n+2ⁿ}是等比數(shù)列；
（3）證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有++…+＜．

Answer 1

（1），，；（2）詳見解析；（3）詳見解析．

試題分析：（1）由，，成等差數(shù)列可得一等式：.為了求出，，，需再列兩個(gè)方程．在題設(shè)中，令，，便又得兩個(gè)方程，這樣解方程組即可．
（2）要證為等比數(shù)列，需證是一個(gè)常數(shù)．為此，需找到與.題設(shè)中是這樣一個(gè)關(guān)系式，顯然應(yīng)消去只留，這就要用.
將中的換成得，兩式相減得：，所以．注意這里的大于等于2，所以還需要考慮的情況.
（3）涉及數(shù)列的和的不等式的證明，一般有以下兩種方法，一是先求和后放縮，二是先放縮后求和.
在本題中，應(yīng)首先求出通項(xiàng)公式.由（2）可得．對(duì)這樣一個(gè)數(shù)列顯然不可能先求和，那么就先放縮.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032143713953.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，然后采用迭乘或迭代的方法，便可得，右邊是一個(gè)等比數(shù)列，便可以求和了.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032143307315.png" style="vertical-align:middle;" />，，成等差數(shù)列，所以……………………①
當(dāng)時(shí)，，………………………………………………………②
當(dāng)時(shí)，，………………………………………………③
所以聯(lián)立①②③解得，，，．
（2）由，得，
兩式相減得，所以．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032144071725.png" style="vertical-align:middle;" />，所以是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列．
（3）由（2）得，，即．因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824032143713953.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
所以當(dāng)n≥2時(shí)，，，，…….，，兩邊同時(shí)相乘得：.
所以．