已知向量,.其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(Ⅰ)若且m>0,求向量的夾角;
(Ⅱ)若對(duì)任意實(shí)數(shù)α、β都成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】分析:(Ⅰ)設(shè)它們的夾角為θ,利用向量的數(shù)量積公式表示出cosθ,將已知條件代入,利用特殊角的三角函數(shù)值求出兩個(gè)向量的夾角.
(II)利用向量模的坐標(biāo)公式將已知條件轉(zhuǎn)化為m2+1+2msin(β-α)≥4對(duì)任意的α,β恒成立,通過對(duì)m分類討論,求出
m2+1+2msin(β-α)的最小值,令最小值大于等于4,求出m的范圍.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)它們的夾角為θ,則
=
…(6分).
(Ⅱ)由
得(mcosα+sinβ)2+(msinα-cosβ)2≥4
即m2+1+2msin(β-α)≥4對(duì)任意的α,β恒成立…(9分)
,
解得m≤-3或m≥3…(13分).
點(diǎn)評(píng):求向量的夾角問題,一般利用向量的數(shù)量積公式來(lái)解決;解決不等式恒成立問題,一般轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來(lái)解決.
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