Question

【題目】已知直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），且與x軸，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．求：
（1）當(dāng)|OA|十|OB|取得最小值時(shí)，直線l的方程；
（2）當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值時(shí)，直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)點(diǎn)A（a，0），B（0，b），且a＞0，b＞0，

直線l的方程為： + =1，

且直線l過(guò)點(diǎn)M（1，1），∴ + =1①；

∴a+b=（a+b）（ + ）=2+ + ≥2+2 =4，

當(dāng)且僅當(dāng) = ，即a=b時(shí)取“=”，

將a=b代入①式得a=2，b=2；

∴直線l的方程為x+y﹣2=0，

即|OA|+|OB|取最小值4時(shí)，l的方程為x+y﹣2=0

（2）解：設(shè)直線方程為y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），

則A（﹣ +1，0），B（0，1﹣k），

∴|MA|2+|MB|2=[（﹣ ）2+1]+[1+（﹣k）2]=2+k2+ ≥2+2k2 =4，

當(dāng)且僅當(dāng)k=﹣1時(shí)取“=”；

∴當(dāng)|MA|2+|MB|2取得最小值4時(shí)，直線l的方程為y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0

【解析】（1）設(shè)出點(diǎn)A的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線AB的方程，利用基本不等式求出a+b=|OA|+|OB|的最小值，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的直線方程；（2）設(shè)出直線方程為y﹣1=k（x﹣1）（k＜0），求出|MA|2+|MB|2的最小值，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的直線方程．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解點(diǎn)斜式方程(直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為則：)．