分析 (1)由已知數(shù)列遞推式可得${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=3({a_n}+\frac{1}{2})$,進(jìn)一步得到$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$,公比為3的等比數(shù)列.求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,可得{an}的通項(xiàng)公式;
(2)把{an}的通項(xiàng)公式代入bn=2nan+n,利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解答 證明:(1)由an+1-3an=1,得an+1=3an+1,得${a_{n+1}}+\frac{1}{2}=3({a_n}+\frac{1}{2})$,
又${a_1}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$≠0,
∴$\left\{{{a_n}+\frac{1}{2}}\right\}$是首項(xiàng)為$\frac{3}{2}$,公比為3的等比數(shù)列.
∴${a_n}+\frac{1}{2}=\frac{3^n}{2}$,則${a}_{n}=\frac{{3}^{n}-1}{2}$.
因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$;
解:(2)由(1)得${a_n}=\frac{{{3^n}-1}}{2}$,
∴bn=2nan+n=n•3n.
Sn=1•31+2•32+3•33+…+n•3n,①
3Sn=1•32+2•33+…+(n-1)•3n+n•3n+1.②
①-②得-2Sn=31+32+…+3n-n•3n+1
=$\frac{3(1-{3}^{n})}{1-3}$-n•3n+1=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}-n•{3}^{n+1}$.
∴Sn=$\frac{(2n-1)•{3}^{n+1}+3}{4}$.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式,考查了等比關(guān)系的確定,訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,是中檔題.
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生產(chǎn)時(shí)間 | [60,65) | [65,70) | [70,75) | [75,80) |
人數(shù) | 30 | 40 | 20 | 10 |
生產(chǎn)時(shí)間 | [60,65) | [65,70) | [70,75) | [75,80) | [80,85) |
人數(shù) | 10 | 25 | 20 | 30 | 15 |
生產(chǎn)時(shí)間小于70分鐘 | 生產(chǎn)時(shí)間不小于70分鐘 | 合計(jì) | |
A組工人 | a= | b= | |
B組工人 | c= | d= | |
合計(jì) | n= |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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