Question

某地區(qū)森林原有木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)a_n為n年后該地區(qū)森林木材的存量．
（1）求a_n的表達(dá)式；
（2）為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年的森林木材存量不少于

7

9

a，如果b=

19a

72

，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過(guò)幾年？（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.3）

Answer 1

分析：（1）要求出a_n的表達(dá)式，主要思路是求出前幾項(xiàng)然后觀察規(guī)律，從而推出得出a_n的表達(dá)式，求解即可
（2）只需代入b=

19a

72

，化簡(jiǎn)后的指數(shù)式轉(zhuǎn)化利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算即可順利解答．

解答：解：（1）設(shè)第一年的森林的木材存量為a₁，
第n年后的森林的木材存量為a_n，
則a1=a(1+

1

4

)-b=

5

4

a-b，a2=

5

4

a1-b=(

5

4

)2a-(

5

4

+1)b，a3=

5

4

a2-b=(

5

4

)3a-[(

5

4

)2+

5

4

+1]b，
所以an=(

5

4

)na-[(

5

4

)n-1+(

5

4

)n-2+…+1]=(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]b(n∈N*)．
（2）當(dāng)b=

19

72

a時(shí)，有an＜

7

9

a得(

5

4

)na-4[(

5

4

)n-1]×

19

72

a＜

7

9

a即(

5

4

)n＞5，
所以，n＞

lg5

lg5-2lg2

=

1-lg2

1-3lg2

≈7.2．
答：經(jīng)過(guò)8年后該地區(qū)就開(kāi)始水土流失．

點(diǎn)評(píng)：本題的背景較為熟悉，所用的知識(shí)是遞推數(shù)列的概念，函數(shù)思想．嚴(yán)格意義上說(shuō)，由a₁，a₂，得出a_n的表達(dá)式，需要證明，但此處的應(yīng)用問(wèn)題主要是求出即可，證明大可不必．解答（2）直接代入化簡(jiǎn)即可，要解答(

5

4

)n＞5，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的運(yùn)算是解答本題的關(guān)鍵，兩邊取常用對(duì)數(shù)可解答．