Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接，，設(shè)的內(nèi)角平分線交的長(zhǎng)軸于點(diǎn)．

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）先設(shè)，分別求出直線，的方程，再由角平分線的性質(zhì)，得到，結(jié)合的取值范圍即可得的取值范圍；

（Ⅱ）分別將，表示成關(guān)于的關(guān)系式，兩式相乘，得到關(guān)于變量的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)或基本不等式，即可求出的最大值．

（Ⅰ）設(shè)，則．

又，，

所以直線，的方程分別為，

．

由點(diǎn)到直線的距離公式得，

所以．

因?yàn)?/span>，，

所以，所以，

因此．

（Ⅱ）因?yàn)?/span>

，

，

所以

．

解法一：設(shè)，

由

，

得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

所以，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．

解法二：

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到最大值．

所以．