【題目】在三棱錐A﹣BCD中,△ABD和△ACD是邊長為2的等邊三角形,,O、E分別是BC、AC的中點.
(1)求證:OE∥平面ABD;
(2)求證:平面ABC⊥平面BCD;
(3)求三棱錐A﹣BCD的表面積.
【答案】(1)見解析(2)見解析(3)4+2.
【解析】
(1)由O、E分別是BC、AC的中點,可得OE∥AB,由線面平行的判定定理可得OE∥平面ABD;
(2)連接AO,DO,可得AO⊥BC,DO⊥BC,可得∠AOD為二面角A﹣BC﹣D的平面角,由已知條件可得∠AOD=90°,則平面ABC⊥平面BCD;
(3)分別計算出S△ABC、S△ABD、S△ACD、S△CBD,相加可得求三棱錐A﹣BCD的表面積.
(1)證明:O、E分別是BC、AC的中點,可得OE∥AB,
OE平面ABD,AB平面ABD,可得OE∥平面ABD;
(2)證明:連接AO,DO,
由AB=AC=BD=DC=2,可得AO⊥BC,DO⊥BC,
可得∠AOD為二面角A﹣BC﹣D的平面角,
由BC=2,可得AO=DO,
在△AOD中,AO2+DO2=AD2,
可得∠AOD=90°,
則平面ABC⊥平面BCD;
(3)三棱錐A﹣BCD的表面積為S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△CBD2×222222×2=4+2.
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【題目】已知是兩條異面直線,直線與都垂直,則下列說法正確的是( )
A. 若平面,則
B. 若平面,則,
C. 存在平面,使得,,
D. 存在平面,使得,,
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【題目】三棱柱的主視圖和俯視圖如圖所示(圖中一格為單位正方形),D、D1分別為棱AC和A1C1的中點.
(1)求側(左)視圖的面積,并證明平面A1ACC1⊥平面B1BDD1
(2)求二面角的余弦值.
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【題目】在①,,②,,③,三個條件中任選一個補充在下面問題中,并加以解答.
已知的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,______,求的面積S.
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【題目】已知橢圓的左頂點為,焦距為2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過點的直線與橢圓的另一個交點為點,與圓的另一個交點為點,是否存在直線使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】在直角坐標系中,點,是曲線上的任意一點,動點滿足
(1)求點的軌跡方程;
(2)經(jīng)過點的動直線與點的軌跡方程交于兩點,在軸上是否存在定點(異于點),使得?若存在,求出的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】在平面坐標系中xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以O為極點,x軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系.
(1)求曲線C的普通方程和直線l的極坐標方程;
(2)設P為曲線C上的動點,求點P到直線l的距離的取值范圍.
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【題目】已知橢圓上任一點到,的距離之和為4.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)已知點,設直線不經(jīng)過點,與交于,兩點,若直線的斜率與直線的斜率之和為,判斷直線是否過定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.
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【題目】為了了解居民的用電情況,某地供電局抽查了該市若干戶居民月均用電量(單位:),并將樣本數(shù)據(jù)分組為,,,,,, ,其頻率分布直方圖如圖所示.
(1)若樣本中月均用電量在的居民有戶,求樣本容量;
(2)求月均用電量的中位數(shù);
(3)在月均用電量為,,,的四組居民中,用分層隨機抽樣法抽取戶居民,則月均用電量在的居民應抽取多少戶?
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