【題目】在三棱錐ABCD中,△ABD和△ACD是邊長為2的等邊三角形,,OE分別是BC、AC的中點.

1)求證:OE∥平面ABD

2)求證:平面ABC⊥平面BCD;

3)求三棱錐ABCD的表面積.

【答案】1)見解析(2)見解析(34+2

【解析】

1)由O、E分別是BC、AC的中點,可得OEAB,由線面平行的判定定理可得OE∥平面ABD;

2)連接AO,DO,可得AOBC,DOBC,可得∠AOD為二面角ABCD的平面角,由已知條件可得∠AOD90°,則平面ABC⊥平面BCD

3)分別計算出SABC、SABD、SACD、SCBD,相加可得求三棱錐ABCD的表面積.

1)證明:O、E分別是BCAC的中點,可得OEAB,

OE平面ABDAB平面ABD,可得OE∥平面ABD;

2)證明:連接AO,DO,

ABACBDDC2,可得AOBC,DOBC,

可得∠AOD為二面角ABCD的平面角,

BC2,可得AODO,

在△AOD中,AO2+DO2AD2

可得∠AOD90°,

則平面ABC⊥平面BCD;

3)三棱錐ABCD的表面積為SABC+SABD+SACD+SCBD2×222222×24+2

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