設(shè)函數(shù)，問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，對(duì)于任意一個(gè)奇函數(shù)都是偶函數(shù)。

 

答案：
解析：

要使為偶函數(shù)，必須使恒成立，

    ，且是奇函數(shù)，

   

　　   即

   

　　 

　　  ，

　　  　　 ①

　　  是一個(gè)任意的奇函數(shù)，

   對(duì)其定義域中任意x的值，不能恒為零，

要使①式對(duì)定義域中任意x均成立，必須且只須綜上所述：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意奇函數(shù)均為偶函數(shù).

 


練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：數(shù)學(xué)教研室 題型：044

設(shè)函數(shù)，問(wèn)：當(dāng)且僅當(dāng)為何值時(shí)，對(duì)于任意一個(gè)奇函數(shù)都是偶函數(shù)。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆江西省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知

（1）求函數(shù)在上的最小值

（2）對(duì)一切的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（3）證明對(duì)一切，都有成立

【解析】第一問(wèn)中利用

當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

第二問(wèn)中，，則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷?duì)一切，恒成立， 

第三問(wèn)中問(wèn)題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對(duì)一切，都有成立

解：（1）當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，，

                 …………4分

（2），則設(shè)，

則，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，因?yàn)閷?duì)一切，恒成立，                                             …………9分

（3）問(wèn)題等價(jià)于證明，，

由（1）可知，的最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)取得

設(shè)，，則，易得。當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得.從而對(duì)一切，都有成立

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2014屆廣東省高一期中考試文科數(shù)學(xué)試卷A卷（解析版） 題型：解答題

一段長(zhǎng)為32米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18米，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？

【解析】解：令矩形與墻垂直的兩邊為寬并設(shè)矩形寬為，則長(zhǎng)為

所以矩形的面積   （）     （4分=128    （8分）

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有最大值128

所以當(dāng)矩形的長(zhǎng)為=16，寬為8時(shí)，

菜園面積最大，最大面積為128 （13分）答：當(dāng)矩形的長(zhǎng)為16米，寬為8米時(shí)。菜園面積最大，最大面積為128平方米（注：也可用二次函數(shù)模型解答）

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013屆江西省高二下學(xué)期期中考試文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知函數(shù)；

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

（2）若函數(shù)，若在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

【解析】第一問(wèn)中，利用導(dǎo)數(shù)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，所以 內(nèi)滿足恒成立，得到結(jié)論第二問(wèn)中，在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使成立，等價(jià)于不等式 在[1，e]上有解，轉(zhuǎn)換為不等式有解來(lái)解答即可。

解：（1），

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070911301664012899/SYS201207091131067338626240_ST.files/image003.png">在其定義域內(nèi)的單調(diào)遞增函數(shù)，

所以 內(nèi)滿足恒成立，即恒成立，

亦即，

即可  又

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)取等號(hào)，

在其定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

（2）在[1，e]上至少存在一個(gè)x的值使成立，等價(jià)于不等式 在[1，e]上有解，設(shè)

 上的增函數(shù)，依題意需

實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

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