【題目】如圖,某企業(yè)的兩座建筑物AB,CD的高度分別為20m和40m,其底部BD之間距離為20m.為響應(yīng)創(chuàng)建文明城市號(hào)召,進(jìn)行亮化改造,現(xiàn)欲在建筑物AB的頂部A處安裝一投影設(shè)備,投影到建筑物CD上形成投影幕墻,既達(dá)到亮化目的又可以進(jìn)行廣告宣傳.已知投影設(shè)備的投影張角∠EAF為,投影幕墻的高度EF越小,投影的圖像越清晰.設(shè)投影光線的上邊沿AE與水平線AG所成角為α,幕墻的高度EF為y(m).
(1)求y關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式,并求出定義域;
(2)當(dāng)投影的圖像最清晰時(shí),求幕墻EF的高度.
【答案】(1);(2).
【解析】試題分析:(1)分別在直角三角形中求出和,然后根據(jù)可求出最后結(jié)果;(2)當(dāng)投影的圖像最清晰時(shí),幕墻EF的高度最小,即求的最小值,利用兩角差的正切函數(shù)公式與基本不等式相結(jié)合,可得最值.
試題解析:(1)由AB=20m,CD=40m,BD=20m可得,∠CAG=,∠GAD=,
又投影設(shè)備的投影張角∠EAF為,所以,
所以G一定在EF上,所以,
所以.
(2)當(dāng)投影的圖像最清晰時(shí),幕墻EF的高度最小,即求y的最小值
由(1)得
,
因?yàn)?/span>,所以,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
又,所以滿足題意,
此時(shí), .
答:當(dāng)時(shí),投影的圖像最清晰,此時(shí)幕墻EF的高度為m.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點(diǎn),使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為方便市民休閑觀光,市政府計(jì)劃在半徑為200,圓心角為的扇形廣場內(nèi)(如圖所示),沿△邊界修建觀光道路,其中、分別在線段、上,且、兩點(diǎn)間距離為定長.
(1)當(dāng)時(shí),求觀光道段的長度;
(2)為提高觀光效果,應(yīng)盡量增加觀光道路總長度,試確定圖中、兩點(diǎn)的位置,使觀光道路總長度達(dá)到最長?并求出總長度的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),若函數(shù)在上為減函數(shù),求實(shí)數(shù)的最小值;
(3)若存在,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: +=1(a>b>0)的離心率為,橢圓C的長軸長為4.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知直線l:y=kx+與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C: 的離心率為 ,橢圓C與y軸交于A、B兩點(diǎn),|AB|=2.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知點(diǎn)P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),且直線PA,PB與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)(2,0)?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,設(shè)橢圓的中心為原點(diǎn)O,長軸在x軸上,上頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,線段OF1,OF2的中點(diǎn)分別為B1,B2,且△AB1B2是面積為4的直角三角形.過B1作l交橢圓于P、Q兩點(diǎn),使PB2垂直QB2,求直線l的方程__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解春季晝夜溫差大小與某種子發(fā)芽多少之間的關(guān)系,現(xiàn)在從4月份的30天中隨機(jī)挑選了5天進(jìn)行研究,且分別記錄了每天晝夜溫差與每天每100顆種子浸泡后的發(fā)芽數(shù),得到如下表格:
日期 | 4月1日 | 4月7日 | 4月15日 | 4月21日 | 4月30日 |
溫差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)顆 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)從這5天中任選2天,記發(fā)芽的種子數(shù)分別為,求事件“均不小于25”的概率;
(2)從這5天中任選2天,若選取的是4月1日與4月30日的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)這5天中的另三天的數(shù)據(jù),求出關(guān)于的線性回歸方程.
(參考公式: , )
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