Question

若函數(shù)f（x）=

x3

3

-

ax2

2

+x+1在區(qū)間（

1

2

，3）上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求導(dǎo)函數(shù)，有極值等價(jià)于方程有實(shí)根，利用分類討論的思想，討論x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）上的根的情況，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：方法一：f（x）的定義域?yàn)镽，且 f′（x）=x²-ax+1．
∵f（x）=

x3

3

-

ax2

2

+x+1在區(qū)間（

1

2

，3）上有極值點(diǎn)，
∴f′（x）=x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）上根，
當(dāng) x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，
∴

△≥0 1 2 ＜ 1 2 a＜3 f( 1 2 )＞0 f(3)＞0

即

a2-4≥0 1 2 ＜ 1 2 a＜3 1 4 - 1 2 a+1＞0 9-3a+1＞0

解得a∈[2，

5

2

），
當(dāng) x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，
∴

△＞0 f( 1 2 )•f(3)＜0

即

a2-4＞0 ( 1 4 - 1 2 a+1)(9-3a+1)＜0

，解得a∈（

5

2

，

10

3

）
 當(dāng)a=

5

2

時(shí)，x²-

5

2

x+1=0，解得x=

1

2

，x=2，其中2∈（

1

2

，3）
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，

10

3

）
方法二：
由方法一可知，
f′（x）=x²-ax+1=0在區(qū)間（

1

2

，3）上有根，
∴ax=x²+1，
即a=x+

1

x

，等價(jià)于求x+

1

x

在（

1

2

，3）的值域，
即a=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)x=1取等號(hào)，
此時(shí)a的最小值為2，
∴

1

2

+2=

5

2

，3+

1

3

=

10

3

，
∴a∈[2，

10

3

）．
故答案為：[2，

10

3

）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查考查函數(shù)的極值和方程根的關(guān)系，考查學(xué)生的分類討論的能力，屬于中檔題．