Question

在長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E、F分別BB₁、DD₁上，且AE⊥A₁B，AF⊥A₁D，
（1）求證：A₁C⊥平面AEF；
（2）若規(guī)定兩個(gè)平面所成的角是這兩個(gè)平面所組成的二面角中的銳角（或直角），則在空間中有定理：若兩條直線分別垂直于兩個(gè)平面，則這兩條直線所成的角與這兩個(gè)平面所成的角相等。
試根據(jù)上述定理，在AB=4，AD=3，AA₁=5時(shí)，求平面AEF與平面D₁B₁BD所成的角的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)值表示）。

Answer 1

證明：（1）因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/201112011527461561015.gif">， 所以在平面上的射影為， 由，得， 同理可證， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/201112011527463281096.gif">， 所以⊥平面AEF。
（2）解：過A作BD的垂線交CD于G， 因?yàn)?IMG style="VERTICAL-ALIGN: middle" border=0 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20111201/20111201152746359963.gif">，所以， 設(shè)AG與所成的角為α， 則α即為平面AEF與平面所成的角． 由已知，計(jì)算得， 如圖建立直角坐標(biāo)系，則得點(diǎn)A（0，0，0）， ， ， 因?yàn)锳G與所成的角為α， 所以，， 由定理知，平面AEF與平面CEF所成角的大小為。