Question

已知函數(shù)f（x）為二次函數(shù)，不等式f（x）+2＜0的解集為(-1，

1

3

)，且對(duì)任意的a，β∈R，恒有f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}滿足a1=1，3an+1=1-

1

f(an+1)-f(an)- 3 2

(n∈N*)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

1

an

，在（2）的條件下，若數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求數(shù)列{S_n•cos（b_nπ）}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（1）由不等式的解集設(shè)出f（x）+2的兩根式，對(duì)角α，β取特值后得到f（1）=1，由此可取函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求出f（a_n+1），f（a_n），代入已知的等式中化簡(jiǎn)得到數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列，求出數(shù)列{

1

an

}的通項(xiàng)公式后可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）由bn=

1

an

，求出cos（b_nπ），然后分n為偶數(shù)和奇數(shù)討論求解數(shù)列{S_n•cos（b_nπ）}的前n項(xiàng)和T_n．

解答：解：（1）設(shè)f（x）+2=a(x+1)(x-

1

3

)(a＞0)，即f(x)=ax2+

2a

3

x-

a

3

-2．
取α=

π

2

，β=π，代入f（sinα）≤0，f（2+cosβ）≥0，則f（1）≤0，f（1）≥0同時(shí)成立，
故f（1）=0，解得a=

3

2

，故f(x)=

3

2

x2+x-

5

2

；
（2）∵f(an+1)-f(an)=

3

2

(an+1)2+(an+1)-

3

2

-(

3

2

an2+an-

3

2

)=3an+

5

2

．
∴3an+1=1-

1

f(an+1)-f(an)- 3 2

=1-

1

3an+1

=

3an

3an+1

．
即

1

an+1

=

1

an

+3．故數(shù)列{

1

an

}為等差數(shù)列．
∵

1

a1

=1，∴

1

an

=3n-2，an=

1

3n-2

；
（3）∵b_n=3n-2，∴cos(bnπ)=cos(3n-2)π=

-1  n=2k-1 1    n=2k

k∈N*
即Sn•cos(bnπ)=(-1)nSn，∴Tn=-S1+S2-S3+S4-…+(-1)nSn．
①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，T_n=（-S₁+S₂）+（-S₃+S₄）+…+（-S_n-1+S_n）
=b2+b4+…+bn=

3n2+2n

4

．
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
Tn=Tn-1-Sn=

3(n-1)2+2(n-1)

4

-

n(1+3n-2)

2

=

-3n2-2n+1

4

．
綜上，Tn=

-3n2-2n+1 4 (n為奇數(shù)) 3n2+2n 4 (n為偶數(shù))

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了數(shù)列的函數(shù)特性，考查了數(shù)列的遞推式及數(shù)列的和，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了學(xué)生綜合處理和解決問(wèn)題的能力，是有一定難度題目．