Question

已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（1）=1，且f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＜

1

2

，則關(guān)于x的不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值即可得到結(jié)論．

解答：解：設(shè)g（x）=f（x）-

x

2

-

1

2

，
則g'（x）=f'（x）-

1

2

，
∵f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＜

1

2

，
∴g'（x））=f'（x）-

1

2

＜0，
即函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
∵g（1）=f（1）-

1

2

-

1

2

=1-

1

2

-

1

2

=0，
∴當(dāng)x＞1時，g（x）＜g（1）=0，
∴不等式f(x)＜

x

2

+

1

2

的解集為（1，+∞），
故答案為：（1，+∞）．

點評：本題主要考查不等式的解法，利用條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)．