Question

設(shè)x軸、y軸正方向的單位向量分別為

i

，

j

，坐標平面上的點A_n滿足條件：

OA1

=

i

+

j

，   

AnAn+1

=2n

i

-

j

（n∈N^*）．
（1）若數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，且s_n=

OA1

•

AnAn+1

，求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）求向量 

OAn+1

的坐標，若△OA₁A_n+1（n∈N^*）的面積S△OA1An+1構(gòu)成數(shù)列{b_n}，寫出數(shù)列{b_n}的通項公式．
（3）若c_n=

bn

an

-2，指出n為何值時，c_n取得最大值，并說明理由．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用向量的數(shù)量積的坐標表示，結(jié)合向量垂直的條件，可得S_n，再由a_n與S_n的關(guān)系，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）運用向量的多邊形法則，以及等比數(shù)列的求和公式，得到A_n+1的坐標，再由三角形的面積公式即可得到面積，即為數(shù)列{b_n}的通項公式；
（3）判斷數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，運用作差法，即為c_n-c_n-1，即可判斷最大值．

解答： 解：（1）由題意sn=

OA1

•

AnAn+1

=2n-1①，
當n=1時，a1=s1=2 -1=1，
當n≥2時，sn-1=2n-1-1②
由 ①-②得：an=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，
又當n=1時，a₁=1符合題意，所以an=2n-1（n∈N^*）                
（2）解：

OAn+1

=

OA1

+

A1A2

+…+

AnAn+1

=（1+2+2²+…+2ⁿ）

i

+（1-1-1-…-1）

j

=（2ⁿ⁺¹-1）

i

+（1-n）

j

，
所以，

OAn+1

=(2n+1-1 ， 1-n)，
由當n∈N^*時，△OA₁A_n+1的頂點坐標分別為：
O(0，0) 、A1(1 ， 1) 、An+1(2n+1-1 ， 1-n)得，S△OA1An+1=

1

2

.

1 1 1 0 0 1 2n+1-1 1-n 1

.

=

1

2

(2n+1+n-2)=2n+

n-2

2

，
即bn=2n+

n-2

2

（n∈N^*）            
（3）cn=

bn

an

-2=

2n+ n-2 2

2n-1

-2=

n-2

2n

，
當n≥2時，cn-cn-1=

n-2

2n

-

n-3

2n-1

=

4-n

2n

，
∴1≤n≤3時，{c_n}是遞增數(shù)列，n≥5時，{c_n}是遞減數(shù)列，
c₁＜c₂＜c₃=c₄＞c₅＞c₆＞…＞c_n＞…，
∴當n=3或n=4時，c_n取得最大值，c3=c4=

1

8

．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查數(shù)列的通項和前n項和的關(guān)系，考查數(shù)列的單調(diào)性的運用，考查運算能力，屬于中檔題．