10.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:
①f(1)=2; ②當x>0時,f(x)>1; ③對任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)•f(y).
(1)求證:f(0)=1,且對任意x<0時,0<f(x)<1;
(2)求證:f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù);
(3)求滿足f(3x-x2)>4的所有x的值.

分析 (1)令x=y=0,可得f(0)=1,及f(x)•f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=1,可得對任意x<0時,0<f(x)<1;
(2)由(1)得f(x)>0,令x1<x2,即有x2-x1>0,f(x2-x1)>1,f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)•f(x1)-f(x1)=[f(x2-x1)-1]•f(x1)>0.,可得單調(diào)性;
(3)運用函數(shù)的單調(diào)性和f(2)=4,f(3x-x2)>4=f(2).3x-x2>2,解得x的范圍.

解答 解:(1)證明:∵f(1)=2,且對任意的x、y∈R,都有
∴f(1+0)=f(1)•f(0),即2f(0)=2,∴f(0)=1
又當x<0時,有-x>0,且x+(-x)=0,f(-x)>1
∴f(x)•f(-x)=f(x+(-x))=f(0)=1,即$f(x)=\frac{1}{f(-x)}$
∴0<f(x)<1;
(2)證明:任取x1,x2∈R,且x1<x2,則x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1,
∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)•f(x1)-f(x1
=[f(x2-x1)-1]•f(x1)>0,即f(x2)>f(x1
所以,f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù).
(3)∵f(1)=2,∴f(2)=f(1+1)=f(1)•f(1)=4
∴f(3x-x2)>4=f(2)
由(2)知,f(x)在R上是單調(diào)遞增函數(shù)
∴3x-x2>2,解得,1<x<2
∴滿足f(3x-x2)>4的所有x的取值為(1,2).

點評 本題考查抽象函數(shù)的運用,考查賦值法的運用和函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運用,以及恒成立問題的解法,屬于中檔題.

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