Question

【題目】設(shè)，若存在常數(shù)，使得對(duì)任意，均有，則稱為有界集合，同時(shí)稱為集合的上界．

（1）設(shè)、，試判斷、是否為有界集合，并說明理由；

（2）已知，記（）．若，

，且為有界集合，求的值及的取值范圍；

（3）設(shè)均為正數(shù)，將中的最小數(shù)記為．是否存在正數(shù)，使得為有界集合， 均為正數(shù)的上界，若存在，試求的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）為有界集合； 不是有界集合．（2）滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)的值為，且實(shí)數(shù)的取值范圍是．（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)有界定義，可知有界， 無界（2）當(dāng)， 有界，當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法可得，故為有界集合，當(dāng)時(shí)， ，

由累加法得，故不是有界集合（3）不妨設(shè)若，可證得；若， ，所以有上界，

試題解析：（1）對(duì)于，由得，解得， 為有界集合；

顯然不是有界集合．

（2）記，則．

若，則， ，即，且，從而．

（ⅰ）當(dāng)時(shí)， ，所以，從而為有界集合．

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由， ，顯然，此時(shí)，利用數(shù)學(xué)歸納法可得，故為有界集合．

（ⅲ）當(dāng)時(shí)， ， ，即，

由累加法得，故不是有界集合．

因此，當(dāng)，且時(shí)， 為有界集合；當(dāng)，且時(shí)， 不是有界集合；

若，則，即，又（），即（）．于是，對(duì)任意，均有，即（），再由累加法得，故不是有界集合．

綜上，當(dāng)，且時(shí)， 為有界集合；當(dāng)，且時(shí)， 不是有界集合；

當(dāng) ()時(shí)， 不是有界集合．

故，滿足題設(shè)的實(shí)數(shù)的值為，且實(shí)數(shù)的取值范圍是．

（3）存在．不妨設(shè)．若，則，且．故 ，

即；

若，則，即，又，故，又 ，

即 ，因此， 是有界集合的一個(gè)上界．

　　下證：上界不可能出現(xiàn)．

假設(shè)正數(shù)出現(xiàn)，取， ，則，

此時(shí)，

（*）

由式（*）可得，與是的一個(gè)上界矛盾！．

綜上所述，滿足題設(shè)的最小正數(shù)的值為．