Question

（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知側面， BC=1，AB=BB1=2，∠BCC1=.

（Ⅰ）求證：C1B⊥平面ABC；

（Ⅱ）P是線段上的動點，當平面平面時，求線段的長；

（Ⅲ）若E為的中點，求二面角平面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）；

【解析】

試題分析：（1）根據線面垂直的判定定理知，一條直線垂直于兩條相交直線，則這條直線與這兩條直線所形成的平面垂直，本題中， ，，所以得到C1B⊥平面ABC；（2）由線面垂直可知，經過這條直線的所有平面都與這個平面垂直，故有，因此過C1作交線的垂線，可得到平面，即可求得=；（3）由上一問知，，故過P作交AE所在直線為點H，則為所求平面的二面角，利用三角函數即可求值。

試題解析：（Ⅰ）證明：側面得

由BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=知C1CB=90°即，

又交于點A，故C1B⊥平面ABC 4分

（Ⅱ）由已知側面知面，過C1作,則，因

故平面平面，求得= 8分[

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，

過P作，

由三角形相似求得：，又 ，

∴，故： 13分

考點：?線面垂直的性質與判定?二面角的余弦值