【題目】已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直.(注: 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)求的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)求證:當(dāng)時(shí), 恒成立.
【答案】(1);(2);(3)詳見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率,結(jié)合兩直線垂直的條件,可得的方程,解出即可;(2)求出單調(diào)區(qū)間可得極值點(diǎn)1,令,可得取值范圍;(3)當(dāng)時(shí), ,令,運(yùn)用二次求導(dǎo)可得函數(shù),得結(jié)論.
試題解析:(1)因?yàn)?/span>,所以,
又據(jù)題意,得,所以,所以.
(2),
當(dāng)時(shí), , 為增函數(shù),
當(dāng)時(shí), , 為減函數(shù).
所以函數(shù)僅當(dāng)時(shí),取得極值.
又函數(shù)在區(qū)間上存在極值,所以,所以.
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(3)當(dāng)時(shí), ,令,則
,
再令,則,
又因?yàn)?/span>,所以.
所以在上是增函數(shù),
又因?yàn)?/span>,
所以當(dāng)時(shí), .
所以在區(qū)間上是增函數(shù).
所以當(dāng)時(shí), ,又,∴恒成立,即原不等式成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線在點(diǎn) 處的切線平行直線,且點(diǎn)在第三象限.
(1)求的坐標(biāo);
(2)若直線, 且也過(guò)切點(diǎn) ,求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面為平行四邊形, , , 底面.
(1)證明:平面平面;
(2)若二面角的大小為,求與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=(n∈N+),
(1)計(jì)算a2、a3、a4并由此猜想通項(xiàng)公式an;
(2)證明(1)中的猜想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)在處取得極值,且在點(diǎn)處的切線與直線平行.
(1)求的解析式;
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及極值。
(3)求函數(shù)在的最值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了了解青少年的肥胖是否與常喝碳酸飲料有關(guān),現(xiàn)對(duì)30名青少年進(jìn)行調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:
常喝 | 不常喝 | 總計(jì) | |
肥胖 | 2 | ||
不肥胖 | 18 | ||
總計(jì) | 30 |
已知從這30名青少年中隨機(jī)抽取1名,抽到肥胖青少年的概率為.
(1)請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整;(2)是否有99.5%的把握認(rèn)為青少年的肥胖與常喝碳酸飲料有關(guān)?
獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式:,其中n=a+b+c+d.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)數(shù)學(xué)老師分別用兩種不同教學(xué)方式對(duì)入學(xué)數(shù)學(xué)平均分和優(yōu)秀率都相同的甲、乙兩個(gè)高一新班(人數(shù)均為20人)進(jìn)行教學(xué)(兩班的學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)勤奮程度和自覺(jué)性一致),數(shù)學(xué)期終考試成績(jī)莖葉圖如下:
(1)學(xué)校規(guī)定:成績(jī)不低于75分的為優(yōu)秀,請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面的聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為“成績(jī)優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”.
附:參考公式及數(shù)據(jù)
(2)從兩個(gè)班數(shù)學(xué)成績(jī)不低于90分的同學(xué)中隨機(jī)抽取3名,設(shè)為抽取成績(jī)不低于95分同學(xué)人數(shù),求的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校隨機(jī)調(diào)查了80位學(xué)生,以研究學(xué)生中愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別的關(guān)系,得到下面的列聯(lián)表:
愛(ài)好 | 不愛(ài)好 | 合計(jì) | |
男 | 20 | 30 | 50 |
女 | 10 | 20 | 30 |
合計(jì) | 30 | 50 | 80 |
(Ⅰ)將此樣本的頻率估計(jì)為總體的概率,隨機(jī)調(diào)查了本校的3名學(xué)生,設(shè)這3人中愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為,求 的分布列,數(shù)學(xué)期望及方差;
(Ⅱ)根據(jù)表中數(shù)據(jù),能否有充分證據(jù)判斷愛(ài)好羽毛球運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)?若有,有多大把握?
0.500 | 0.100 | 0.050 | 0.010 | |
| 0.455 | 2.706 | 3.841 | 6.635 |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和, 是等差數(shù)列,且.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令.求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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