Question

如圖所示，在邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)在線段上，且，，作，分別交，于點(diǎn)，，作，分別交，于點(diǎn)，，將該正方形沿，折疊，使得與重合，構(gòu)成如圖所示的三棱柱．
（1）求證：平面； 
（2）求四棱錐的體積；
（3）求平面與平面所成角的余弦值．

Answer 1

（1）在正方形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204110888737.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以三棱柱的底面三角形的邊．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204109468446.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，所以．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204109374494.png" style="vertical-align:middle;" />為正方形，，
所以，而，
所以平面．----------- 4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204110388396.png" style="vertical-align:middle;" />平面，所以為四棱錐的高．
因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823204111402546.png" style="vertical-align:middle;" />為直角梯形，且，，
所以梯形的面積為．
所以四棱錐的體積．-----------8分
(3)由(1)(2)可知，，，兩兩互相垂直．以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，、

則，，，，，
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為．
則，即．
令，則．所以．
顯然平面的一個(gè)法向量為．
設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則．
所以平面與平面所成角的余弦值為．

略