【題目】如圖,在四棱錐中,為等邊三角形,邊長為2,為等腰直角三角形,,,,平面平面ABCD.
(1)證明:平面PAD;
(2)求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;
(3)棱PD上是否存在一點(diǎn)E,使得平面PBC?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3)棱PD上存在一點(diǎn)E,使得平面PBC,且.
【解析】
(1)用面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直;
(2)取的中點(diǎn),連接,得平面,以為軸,為軸,過平行于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,用平面的法向量的夾角求二面角;
(3)假設(shè)棱PD上存在一點(diǎn)E,使得平面PBC,設(shè),由與平面的法向量垂直求得,如果求不出,說明不存在.
(1)∵平面平面ABCD,,平面平面ABCD,平面ABCD,∴平面;
(2)取的中點(diǎn),連接,由于是等邊三角形,所以,由平面平面ABCD,得平面,,
以為軸,為軸,過平行于的直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,
則,取,則,,,
平面的一個(gè)法向量為,
,
∴平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值為;
(3)假設(shè)棱PD上存在一點(diǎn)E,使得平面PBC,設(shè),
由(2),,
,又平面的一個(gè)法向量是,
∴,解得,∴.
∴棱PD上存在一點(diǎn)E,使得平面PBC,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】生男生女都一樣,女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想,頭胎的男女情況可能會(huì)影響生二孩的意愿,現(xiàn)隨機(jī)抽取某地200戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì).這200戶家庭中,頭胎為女孩的頻率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.
(1)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認(rèn)為是否生二孩與頭胎的男女情況有關(guān);
生二孩 | 不生二孩 | 合計(jì) | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計(jì) | 200 |
(2)在抽取的200戶家庭的樣本中,按照分層抽樣的方法在生二孩的家庭中抽取了7戶,進(jìn)一步了解情況,在抽取的7戶中再隨機(jī)抽取4戶,求抽到的頭胎是女孩的家庭戶數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若函數(shù)僅有個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從拋物線上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段,垂足為Q,點(diǎn)M是線段上的一點(diǎn),且滿足
(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;
(2)設(shè)直線與軌跡c交于兩點(diǎn),T為C上異于的任意一點(diǎn),直線,分別與直線交于兩點(diǎn),以為直徑的圓是否過x軸上的定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出符合條件的定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓的右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知橢圓的離心率為,.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點(diǎn),且點(diǎn)在第二象限.與延長線交于點(diǎn),若的面積是面積的3倍,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若有兩個(gè)極值點(diǎn),,且至少存在兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直三棱柱的所有棱長相等,為的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí),求二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過拋物線的焦點(diǎn)為F且斜率為k的直線l交曲線C于、兩點(diǎn),交圓于M,N兩點(diǎn)(A,M兩點(diǎn)相鄰).
(1)求證:為定值;
(2)過A,B兩點(diǎn)分別作曲線C的切線,,兩切線交于點(diǎn)P,求與面積之積的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,平面平面,為等邊三角形,且,,分別為,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求直線和平面所成角的正切值;
(3)求三棱錐的體積.
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