Question

雙曲線C與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦距，一條漸近線方程為x-2y=0，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　　）

• A、

  x2

  4

  -y²=1
• B、

  x2

  4

  -y²=1或y²-

  x2

  4

  =1
• C、x²-

  y2

  4

  =1或y²-

  x2

  4

  =1
• D、y²-

  x2

  4

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出橢圓的焦距，從而得到雙曲線的焦距，再由雙曲線的漸近線方程，能求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

解答： 解：∵橢圓

x2

9

+

y2

4

=1中，c=

9-4

=

5

，
∴焦距|F₁F₂|=2c=2

5

，
∵雙曲線C與橢圓

x2

9

+

y2

4

=1有相同的焦距，一條漸近線方程為x-2y=0，
∴設(shè)雙曲線方程為

x2

4

-y2=λ，λ≠0
化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得：

x2

4λ

-

y2

λ

=1，
當(dāng)λ＞0時(shí)，c=

4λ+λ

=

5

，解得λ=1，
∴雙曲線方程為

x2

4

-y2=1；
當(dāng)λ＜0時(shí)，c=

-λ-4λ

=

5

，解得λ=-1，
∴雙曲線方程為y2-

x2

4

=1．
∴雙曲線方程為

x2

4

-y²=1或y²-

x2

4

=1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，要熟練掌握雙曲線、橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．