設函數(shù)f(x)的定義域為R，對任意實數(shù)x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當x＞0時f(x)＜0且f(3)＝－4．

(1)求證：f(x)為奇函數(shù)；

(2)在區(qū)間[－9，9]上，求f(x)的最值．

答案：
解析：

　　(1)證明：令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0

　　令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，即f(－x)＝－f(x)

　　∴f(x)是奇函數(shù)

　　(2)解：1°，任取實數(shù)x1、x2∈[－9，9]且x1＜x2，這時，x2－x1＞0，

　　f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x1)＝－f(x2－x1)

　　因為x＞0時，f(x)＜0，∴f(x1)－f(x2)＞0

　　∴f(x)在[－9，9]上是減函數(shù)

　　故f(x)的最大值為f(－9)，最小值為f(9)．

　　而f(9)＝f(3＋3＋3)＝3f(3)＝－12，f(－9)＝－f(9)＝12．

　　∴f(x)在區(qū)間[－9，9]上的最大值為12，最小值為－12．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（09年東城區(qū)示范校質(zhì)檢一理）（14分）

設函數(shù)f(x)是定義在上的奇函數(shù)，當時， （a為實數(shù)）．

   （Ⅰ）求當時，f(x)的解析式；

   （Ⅱ）若上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

   （Ⅲ）是否存在a，使得當時，f(x)有最大值－6．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若當x∈(0,+∞)時,f(x)=lgx,則滿足f(x)＞0的x的取值范圍是___________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，并且f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時，有f(x)=x,則f(3.5)=____________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當x∈[0,1]時，f(x)＝x＋1，則f()＝________.

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科目：高中數(shù)學 來源：2008年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學（上海卷） 題型：填空題

設函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當x∈(0,+∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)＞0

的x的取值范圍是  　　　　　　　　　　　　    .

 

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